/ 数学 / 从直觉到方法:大话实变函数中的收敛性

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2016-03-09  yh56.com

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无论是数学还是自然科学,九州游戏管理最高佣金:积分随处可见,能量可以表示成积分、路程可以表示成积分、压力可以表示成积分、电量可以表示成积分、面积也可以表示成积分,积分无处不在。总之,只要你有点“阴晴不定”,最后对付你的多半是积分。从这个角度说,我们不能根据一个人在一件事或某个时候的表现便对这个人妄下断论,需要根据他在相当长一段时间内的表现来对他作出评判。

令人遗憾的是,即使你已经把握了某个量的变化特征,甚至用简单的函数关系把它表示了出来,也未必能准确计算出它的积分,所以,“逼近”在数学与自然科学研究中是一种司空见惯的手段。在计算技术如此发达的今天,数学与计算机的结合,使得近似计算的精度可以达到惊人的程度。

不过在你实际操刀准备大显身手之前,需要先弄清楚一件事,你的近似算法可不可行?具体地说,你取了一个比较简单的函数序列,通过计算它们的积分去逼近目标函数的积分,也许你能看出这个函数序列的确是收敛到目标函数的,甚至这个函数序列的积分也是收敛的,你美滋滋地认为,积分序列一定收敛到目标函数的积分。于是你信心满满地算出了能量、算出了压力、取得了震惊世人的重大发现。也许你复杂的计算让大家一时无法仔细推敲你的结论,既不能肯定也不能否定你的结论,你成功了,成了大牛。这样的笑话是有过的,很多年前,某人给某个油田算数据,他算的数据是个发散序列,却振振有词道:“与实际结果非常吻合”,真是活见鬼了,据说后来被人大骂骗子。

积分与极限的顺序是否可以交换是个比较难的问题,微积分中通常需要附加非常强的条件,最简单的条件当然是函数序列一致收敛。然而,令人沮丧的是,绝大多数的情况下是无法做到一致收敛的,甚至处处收敛都做不到。历史上最著名的问题是“函数的傅里叶展开是否收敛到该函数?”虽然傅里叶分析是个比较古老的学问,但这个问题的解决却经历了相当长的时间,并因此诞生了一门新的理论:“调和分析”。我们暂且把傅里叶分析放在一边,还是来考察收敛性问题,看看数学上的直觉能帮我们做什么。

如果一个函数列一致收敛,通常函数列的很多特征都被极限继承了下来,例如连续性、可积性等。我们需要考察的是,如果一个函数列仅仅处处收敛,它与一致收敛的差别有多大?也许从这种差别上可以看出一点解决问题的苗头。不妨看一个简单的实例:fn(x)=xn,x∈(0,1),这是个处处收敛到0但不一致收敛的函数列。这个函数列虽然不是一致收敛的,但我们不难看到,导致不一致收敛的原因在于区间的右端点,只要我们把右端点的一个充分小邻域挖掉,例如挖掉(δ,1),其中δ充分接近1,那么在剩下的区间(0,δ]上,函数列是一致收敛的。它启发我们可以这样来处理问题,在区间(0,δ]上由于有一致收敛性做保证,问题不难解决,需要对付的是区间(δ,1)上的情形。由于δ可以充分接近1,换句话说,这个区间的长度可以充分小,可以想象,只要函数列不是太不守规矩,它们在这个小区间上的积分还是可能被控制的。事实上,微积分中瑕积分的收敛性判定采用的正是这个思想,不信你去回顾一下p-积分收敛判别法及其证明,便知我所言不虚。

问题的关键在于,上述例子是特殊现象还是具有某种规律性?也就是说,当一个函数列处处收敛时,导致收敛不具有一致性是否仅仅源于定义域中个别的点?无论你考察什么具体的函数列,答案都是肯定的。因此我们有理由相信,一个处处收敛的函数列一定可以通过挖掉定义中“很少”的部分,使得在剩余的部分一致收敛。这正是实变函数中非常重要的叶果罗夫定理的由来,这个定理是说:“如果{fn}是有限测度集E上几乎处处有限且几乎处处收敛到f的可测函数列,那么对任意δ>0,存在E的可测子集Eδ,使得Eδ的测度小于δ,并且fn在E-Eδ上一致收敛到f。”这个定理对于积分与极限交换顺序的证明起着举足轻重的作用。在我看来,叶果罗夫定理的重要性不仅仅体现在它的应用上,更重要的是这种处理问题的思想,即将问题分成“正常”与“奇异”两个部分来分别处理,这是数学的常规思想方法。

下面说说具体地如何从几乎处处收敛做到一致收敛,要看懂下面的部分需要一定的基础,但以思想方法论,是实变函数的精髓部分。

可测函数这一章包含一些精彩的思想与基本技巧值得学习。可测函数的定义与可测集的定义一样是件很自然的事,这一章的重点在于可测函数列的收敛性与可测函数的结构,通俗地说,可测函数列按什么方式收敛?可测函数都是些什么样的函数?

定义可测函数有两种基本的方法,一种是根据Lebesgue积分的定义自然诱导出可测集,另一种是先定义特殊的可测函数然后做逼近,通常在定义可测函数时会讨论这两者的关系从而证明它们是等价的。

关于可测函数最精彩的结论有两个,其中之一是如何由(几乎)处处收敛的函数列得到一致收敛的函数列,这个问题的重要性是不言而喻的,一个函数列一旦一致收敛,积分与极限的交换顺序问题、求导与极限的交换顺序问题以及级数的求和问题都变得简单了。能从(几乎)处处收敛想到一致收敛的人很伟大,因为一般人不敢相信从处处收敛能得到一致收敛。这个伟大的人是谁?他就是叶果洛夫,这个定理称为叶果洛夫定理,如果说叶果洛夫定理是Lebesgue积分理论的基石恐怕不算过分。事实上,无论是运用连续函数逼近可测函数的鲁津定理还是Lebesgue控制收敛定理,其基本的证明思想都离不开叶果洛夫定理。这一点也不奇怪,因为连续函数序列的一致收敛极限仍是连续的,一致收敛的可积函数列其极限与积分可以交换顺序。作为最强的一种收敛性,其极限函数最大限度地遗传了函数列的性质。无论是结论还是证明的思想,叶果洛夫定理都堪称经典与精彩,在许多后续问题的处理中都运用了叶果洛夫定理的证明思想。

我想即使不是做数学的人大概也对这样的定理极其感兴趣,因为你在过去的研究中肯定曾经为极限问题伤过脑筋,你也许曾经期盼过:“要是这个函数列一致收敛多好啊”,现在我就来告诉你如何做到一致收敛,这也是我们的任课教师在课堂上应该教给学生的。

在得到叶果洛夫定理前先让我们适应一下如何用集合的语言描述函数或函数列的性质,这是学习实变函数的诀窍,你如果善于在集合的语言与分析的语言之间相互转换,那学习实变函数对你就不是一件难事。假设{fn}是可测集E上的可测函数列,f是E上的可测函数,所谓{fn}在E上几乎处处收敛到f指的是存在E的一个零测度子集E0,使得fn在E-E0上处处收敛到f。企图让fn在E或者E-E0上一致收敛是不可能的,我们只能考察fn是否存在一致收敛的子列,或者将fn限制在一个比E或E-E0小的集合上使得fn在这个集合上一致收敛,但这个更小的集合不能比原来的集合小太多,否则即使得到一致收敛性也可能没有多大价值。

从何入手呢?这就需要运用集合的语言来重新描述一下函数列不收敛的那些点了,这个问题初看似乎并不复杂,按如下方式就可以:

E1=E{x|fn(x)不收敛到f(x)}。

问题是啥叫fn(x)不收敛到f(x)?这又回到微积分中的N-ε语言了,N-ε语言的重要性不需要我多说大家都知道,没有它你无法进行极限的量化论证,因此有必要将极限的N-ε语言转换成集合的语言,完成了这一步,接下来的事情就好办了。

回顾一下如何用N-ε语言描述不收敛:我们说fn(x)不收敛到f(x)是指存在ε0>0,对任意自然数N,存在nN>N,使得

|fnN(x)-f(x)|>ε0

应该注意的是,对不同的x∈E1,nN及ε0可能各不相同,我们暂且将上述不等式表示成集合的形式:

E{x||fnN(x)-f(x)|>ε0},

接下来的任务是如何将“对不同的x∈E1,nN及ε0可能各不相同”在集合中体现出来?对任意的N,存在nN>N用集合的语言如何表达?存在nN>N是说对某个nN>N,不等式|fnN(x)-f(x)|> ε0成立,所以x应该在并集∪n>N E{x||fn(x)-f(x)|> ε0}中。而上述不等式对任意N都成立,所以x应该在交集∩N∪n>N E{x||fn(x)-f(x)|> ε0}中,这个集合把N、nN以及ε0的关系反映出来了,但是还有一个因素没有考虑到,这就是对不同的x,ε0可能是不同的,按理说,应该再将不同的ε0对应的集合并上,即构造集合

∪ε0∩N∪n>N E{x||fn(x)-f(x)|> ε0}。

上述集合的确表示了所有不收敛的点构成的集合(你能验证吗?),但可测性出了问题,在上面关于ε0的并中,由于ε0可能有不可数多个,如何能保证不可数多个可测集的并集还是可测的?所以上述集合的并运算需要可数化。不管ε0是何正数,总存在自然数k,使得ε0>1/k,从而当|fn(x)-f(x)|> ε0时必然有|fn(x)-f(x)|>1/k。反之,如果对任意自然数N,存在nN>N,使得 |fnN(x)-f(x)|>1/k,fn(x)当然不收敛到f(x),可见函数列不收敛的点集可以改写成:

E{x|fn(x)不收敛到f(x)}=∪k∩N∪n>N E{x||fn(x)-f(x)|> 1/k},

这个表示式在整个定理的证明中发挥了至关重要的作用。试试看,通过对上述集合的分析以及一致收敛的N-ε语言如何寻找一个与原来集合的测度相差不大的子集,使得函数列在这个集合上一致收敛?如果你能找到,你就发现了叶果洛夫定理,你比叶果洛夫也就平凡一点点而已。

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